まず結論から申し上げると、誰が不動産の名義を取得するか決まっていない（遺産分割が成立していない）ときでも、相続人は相続登記を行わなければなりません。

では、話合いがまとまっていない場合、どうすればいいのかでしょうか？

この場合は、新たに創設された「相続人申告登記」の申し出を法務局に行うことで、登記申請義務を果たすことができます。
これは、相続人が①不動産の登記名義人について相続が開始した旨と②自分がその相続人である旨を申し出ることによって、登記申請義務を簡易に果たすことができる制度です。
より具体的には、不動産を管轄する法務局に対して、自分が相続人であることが分かる戸籍等の資料と一緒に申出書を提出することで、登記記録に申し出をした相続人の住所・氏名が記載され、一目で不動産所有者の相続人が分かるようになるのです。

また、相続人申告登記の申し出以外にも、法定相続分（子ども2人で2分の1の割合）で相続登記をすることでも申請義務を果たしたことになります。なぜなら、相続人間で名義取得の話合いがまとまっていない間は、法律上、亡父名義の不動産を相続人が法定相続分（ここでは子ども2人で２分の１ずつ）の割合で取得（共有）した状態となるため、当該割合で取得している以上、法定相続分割合での相続登記を申請することも可能です。

そして、今後兄弟の間でどちらが不動産の名義を取得するかが決まった（遺産分割協議が成立した）場合は、前述の相続人申告登記の申し出をしていた、または法定相続分の登記をしていたとしても、分け方が決まった日から３年以内にその内容を踏まえた相続登記を申請しなければいけない点に注意が必要です。
前述の方法で申請義務を果たしていたとしても、遺産分割内容に基づいた相続登記の申請が別の義務として課されているためです。